TEORIA GRACELI DA ESPECIFICIDADE RELATIVA E GERAL, E TOPOGEOMETRIA FENOMÊNICA [FORMAS, ESPAÇOS, VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS RELATIVAS E VARIÁVEIS CONFORME FENÔMENOS NO SDCITE GRACELI.

A ESPECIFICIDADE RELATIVA AO SDCITE GRACELI E À OBSERVADORES [POSIÇÕES, ÂNGULOS, DISTANCIAMENTOS, MOVIMENTOS, ILUMINAÇÃO], FAZEM PARTE DO UNIVERSO DE FENÔMENOS, ENERGIAS, ESPAÇOS TRANSICIONAIS , E ESTADOS FÍSICOS, FENOMÊNICOS, QUÂNTICO, E OUTROS.

FENÔMENOS COMO:

ELETROMAGNETISMO, TÉRMICO, CONDUTIVIDADES, RESISTÊNCIAS, ESTRUTURA ELETRÔNICA, NÚMERO QUÂNTICO E ESTADO QUÂNTICO, ONDAS, ESTADOS FÍSICOS, QUANTICO E DE ENERGIAS, ESTADOS TRANSICIONAIS DE GRACELI, TUNELAMENTO, EMARNAHMENTO, DIFRAÇÕES, DIFUSÃO, EMISSÕES, ABSORÇÕES,  DISPERSÃO E ESPALHAMENTO,  INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES.

E TODOS OS OUTROS FENÔMENOS, ENERGIAS E ESTRUTURAS E ESTADOS FENOMÊNICOS E ESTRUTURAIS.

E CONFORME E RELATIVOS AO SDCTIE GRACELI.

O TEMPO EM GRACELI.

O TEMPO EM GRACELI NÃO ESTÁ RELACIONADO AO ESPAÇO MAS SIM AOS FENÔMENOS,  ENERGIAS E SUBJETIVIDADE. E RELATIVO AO SDCITE GRACELI.

O ESPAÇO EM GRACLI ESTÁ RELACIONADO TAMBÉM AOS FENÔMENOS, ENERGIA, ESTRUTURAS E ESTADOS FÍSICOS,, DENTRO DE UMA SISTEMA DE ONDAS NÃO TEM CM DETERMINAR O ESPAÇO DE A A B SEM LEVAR EM CONSIDERAÇÃO A REALIDADE F´SICA EM QUESTÃO.

O MESMO DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO, OU DENTRO DE UM SISTEMA ELETROMAGNÉTICO, OU TÉRMICO [IMAGINE O ESPAÇO TÉRMICO DE A A B DENTRO DE UMA CALDEIRA EM CHAMAS COM FERRO E OUTROS.

OU SEJA, NISTO TANTO  ESPAÇO QUANTO O TEMPO SÃO RELATIVOS E VARIACIONAIS  AO SISTEMA FENOMÊNICOS SDCTIE GRACELI EM QUESTÃO.

OU COM COM INFINITAS FORMAS E VARIAÇÕES DE INTENSIDADE E FLUXOS ALEATÓRIOS, E TAMBÉM RELATIVOS À POSIÇÕES E ÂNGULOS ,DE OBSERVADORES E LEVANDO TAMBÉM OS MOVIMENTOS E ILUMINAÇÃO DE OBSERVAÇÃO.

O MESMO PARA ESTADOS FÍSICOS EM GRACELI.

OU SEJA, SÃO RELATIVOS E TRANSCENDENTES, OU SEJA, O QUE DETERMINA UM ESTADO FÍSICO ÃO É APENAS A ESTRUTURA , MAS SIM TAMBÉM A VARIAÇÓES DE ENERGIAS, MOVIMENTOS, FENÔMENOS E OUTROS.

SENDO ASSIM, TAMBÉM RELATIVOS TRANSCENDENTES ALEATÓRIOS E INDETERMINADOS.

COM ISTO TAMBÉM  A GEOMETRIA E A TOPOLOGIA EM GRACELI SEGUEM O MESMO SISTEMA FENOMÊNICO RELATIVO TRANSCENDENTE E VARIACIONAL ALEATÓRIO E INDETERMINADO.

OU SEJA, AS FORMAS E ESTRUTURAS PASSAM A SEREM DINÂMICAS  E RELATIVAS.

E CONFORME SDCTIE GRACELI E OBSERVADORES.

O PONTO CRÍTICO TAMBÉM SEGUE OS PARÂMETROS DA ESPECÍFICIDADES EM GRACELI.

 A TEORIA GRACELI DO PONTO CRÍTICO  [TEORIA DO LIMITE]. NO SDCITE GRACELI.

EÉ TODO E QUALQUER FENÔMENO, ESTADO FÍSICO, QUçANTICO, ESTADO DE GRACELI, ENERGIAS, E OUTROS, E DA PASSAGEM DO QUÂNTICO PARA O CLÁSSICO, OU DA CAUSA PARA O EFEITO, OU DA ENTALPIA PARA OUTRO ENTALPIA, DA ENTROPIA PARA O APENAS INSTÁVEIS, E SEGUE, NESTES TERMOS ENVOLVENDO OUTROS LIMITES E ESTADOS CRÍTICOS.

E COM VARIÁVEIS ESPECÍFICAS PARA ESTRUTURAS, ENERGIAS, ESTADOS TRANSICIONAIS DE GRACELI, E ENERGIA E CONFORME O SDCITE GRACELI.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

Matéria degenerada

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Saltar para a navegaçãoSaltar para a pesquisa

Denomina-se matéria degenerada, ou ainda gás degenerado, aquela na qual uma fração importante da pressão provém do princípio de exclusão de Pauli, que estabelece que dois férmions não podem ter os mesmos números quânticos.

Tal "gás" não obedece às leis clássicas segundo as quais a pressão de um gás é proporcional à sua temperatura e densidade.

Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac provaram que, a uma densidade muito alta, a pressão aumenta rapidamente até o ponto em que ela passa a independer da temperatura do gás. Neste ponto, o gás passa a agir quase como um sólido.

Na astronomia, este gás é encontrado nas estrelas anãs brancas e é importante no tratamento tanto de estrelas residuais densas quanto das novas que as geram.^[1] É conceito importante em cosmologia e na evolução do universo no tempo,^[2] com relações com a teoria da relatividade^[3] e para o modelo "big bang" e na detecção de objetos estelares.^[4]

Dependendo das condições, a degeneração de diferentes partículas pode contribuir com a pressão de um objeto compacto, de modo que uma anã branca está sustentada pela degeneração dos elétrons, ainda que uma estrela de nêutrons não colapse devido ao efeito combinado da pressão de nêutrons degenerados e da pressão devida à ação repulsiva da interação forte entre bárions.

Estas restrições nos estados quânticos fazem com que as partículas adquiram momentos muito elevados, já que não têm outras posições do espaço de fases onde situar-se; pode-se dizer que o gás, ao não poder ocupar mais posições, se vê obrigado a estender-se no espaço de momentos com a limitação da velocidade c (velocidade da luz). Assim, ao estar tão comprimida a matéria, os estados energeticamente baixos preenchem-se em seguida, pelo que muitas partículas não têm outra possibilidade senão colocar-se em estados muito energéticos, o que envolve uma pressão adicional de origem quântica. Se a matéria está suficientemente degenerada, esta citada pressão será dominante, e muito, sobre todas as demais contribuições. Esta pressão é, além disto, independente da temperatura e unicamente dependente da densidade.

Estas características implicam tratamento termodinâmico bastante diverso e adequado às pressões e campos gravitacionais envolvidos^[5], assim como o comportamento das reações nucleares na proximidade de tais massas.^[6][7]

Necessita-se de densidades para chegar aos estados de degeneração da matéria. Para a degeneração de elétrons se requer uma densidade em torno dos 10⁶ g/cm³, para a de nêutrons necessita-se muito mais ainda, 10¹⁴ g/cm³.

Tratamento matemático da degeneração

Para calcular o número de partículas fermiônicas em função de seu momento, se usará a distribuição de Fermi-Dirac (ver estatística de Fermi-Dirac) da seguinte maneira:

${\displaystyle n(p)dp=2\cdot {\frac {4\pi p^{2}dp}{h^{3}}}\cdot {\frac {1}{1+exp\left({\frac {E_{p}}{KT}}-\psi \right)}}}$

x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Onde n(p) é o número de partículas com momento linear p. O coeficiente inicial 2 é a dupla degeneração de spin dos férmions. A primeira fração é o volume do espaço de fases em um diferencial de momentos dividido pelo volume de uma determinada seção no espaço. A h³ é a constante de Planck ao cubo que, como se tem dito, significa o volume dessas seções nas quais cabem até duas partículas com spins opostos. O último termo fracionário é o denominado fator de preenchimento. K é a constante de Boltzmann, T a temperatura, E_p a energia cinética de uma partícula com momento p e ψ o parâmetro de degeneração, que é dependente da densidade e da temperatura.

• O fator de preenchimento indica a probabilidade de este preencher um estado. Seu valor está compreendido entre 0 (todos vazios) e 1 (todos preenchidos).

• O parâmetro de degeneração indica o grau de degeneração das partículas. Se toma valores grandes e negativos a matéria estará em um regime de gás ideal. Se está próximo a 0 a degeneração se começa a notar. Diz-se que o material está parcialmente degenerado. Se o valor é grande e positivo o material está altamente degenerado. Isto acontece quando as densidades são elevadas ou também quando as temperaturas são baixas.

Desta equação se podem deduzir as integrais do número de partículas, a pressão que exercem e a energia que têm. Estas integrais são possíveis de serem resolvidas analiticamente quando a degeneração é completa.

${\displaystyle n=\int _{0}^{\infty }n(p)dp\qquad P={\frac {1}{3}}\int _{0}^{\infty }n(p)v_{p}pdp\qquad U=\int _{0}^{\infty }E_{p}n(p)dp}$

x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

O valor da energia das partículas dependerá da velocidade das partículas, a qual decidirá se se tem-se um gás relativista ou não. No primeiro caso se usarão as equações de Einstein e no segundo valerá a aproximação clássica. Como se pode ver, as relações energia-pressão variam significativamente, sendo maiores as pressões obtidas com a degeneração completa não relativista. É lógico, já que a matéria relativista é mais quente.

• Matéria degenerada não relativista (NR): ${\displaystyle v<\!<c\qquad p=m_{e}v\qquad E_{p}={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\qquad U={\frac {3}{2}}P}$
• 
  
• x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

• Matéria degenerada extremamente relativista (ER): ${\displaystyle v\simeq c\qquad p\simeq m_{e}c\qquad E_{p}\simeq pc\qquad U=3P}$

x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

As estrelas típicas com degeneração são as anãs brancas e as anãs marrons sustentadas por elétrons e as estrelas de nêutrons sustentadas por nêutrons degenerados. Considera-se que sua temperatura tende a 0, já que não possuem fonte de calor alguma. Suporemos estes corpos com um parâmetro de degeneração tendente a +infinito

O bóson ^{(português brasileiro)} ou bosão ^{(português europeu)} é uma partícula que possui spin inteiro (em unidades de ${\displaystyle \hbar }$) e obedece à estatística de Bose-Einstein.^[1] Ele tem este nome em homenagem ao físico indiano Satyendra Nath Bose.^[2] Entre os exemplos de bósons estão as partículas elementares, como o fóton, o glúon, o bóson de Higgs, e partículas compostas, como mésons e núcleos atômicos estáveis, como o hélio-4.

Motivação

As partículas microscópicas exibem propriedades que, no começo do século XX, motivaram o surgimento da mecânica quântica. O problema da identidade das partículas, antes tido como ponto pacífico pela mecânica clássica, toma feição inteiramente nova.

Duas partículas que podem ser distinguidas pela posição na mecânica clássica já não o podem ser pela mecânica quântica. Isso decorre pela imprecisão inerente às medidas efetuadas sobre os observáveis, que correspondem, grosso modo, à noção de propriedade da mecânica clássica.

A imprecisão da mecânica quântica decorre do princípio da incerteza de Heisenberg, que estipula restrição para a medição simultânea de propriedades incompatíveis, que são aquelas que são relacionadas pelo princípio da incerteza.

Estatística quântica

Com o advento da mecânica quântica as noções de distinguibilidade das partículas subatômicas e da ocupação de estados de energia sofreu sérias reformulações.

No começo do século XX, Boltzmann havia chegado à forma correta da distribuição do número de partículas em função do nível de energia. Mas isso no âmbito da mecânica clássica.

Contudo, principalmente com o surgimento da moderna teoria quântica, o conceito de trajetória se torna seriamente prejudicado, quando não totalmente desnecessário e contraditório.

Uma trajetória implica o deslocamento, no espaço (e é claro, no tempo) de uma partícula, idealizada como um ponto matemático. Nesse sentido, uma trajetória física corresponderia, na matemática, a uma curva suave e diferenciável, completamente contínua em todos os seus pontos.

Porém, mesmo no trabalho de Einstein sobre o movimento browniano em 1905 (publicado juntamente com outros três trabalhos: sobre o efeito fotoelétrico, sobre o calor específico dos sólidos e sobre a relatividade), esse cientista postulou trajetórias em zig-zag, descontínuas em inúmeros (para não dizer infinitos) pontos, para as moléculas e átomos, assim como também as partículas movidas, fossem elas partículas de pó, pólen, dentre outras. Assim, ainda no cenário da física clássica, as trajetórias suaves já não eram ponto pacífico.

Com o entendimento trazido à luz pela interpretação do princípio da incerteza de Heisenberg, e pela interpretação estatística da função de onda dada por Max Born foi totalmente por terra a noção de que a partícula tinha trajetória definida.

Assim sendo, não se podem distinguir partículas cujas características sejam idênticas se se aproximam muito uma da outra, porque então não se pode identificá-las pela trajetória, já que para pontos muitos próximos, dependendo da velocidade, os pontos já não são discerníveis. A relação matemática que rege essa indeterminação fundamental é a relação da incerteza de Heisenberg:

[X_k,P_l] = i${\displaystyle \hbar \delta _{k}l}$x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

onde X_k representa o operador posição e P_l representa o operador de momento linear

Dentro desse entendimento, a distribuição de Boltzmann não é mais válida, senão como aproximação. Verificou-se que as distribuições válidas para partículas com carácter manifestamente quântico, são as seguintes:

• Distribuição de Fermi-Dirac
• Distribuição de Bose-Einstein

A primeira é válida para partículas de spin semi-inteiro ( 1/2, 3/2, 5/2...),em unidades de ${\displaystyle \hbar }$, ou seja, para os férmions, ao passo que a segunda é a distribuição válida para partículas de spin inteiro (0,1,2,3...), ou seja, para os bósons, assunto deste artigo.

Pode-se explicar qualitativa e sucintamente, de forma simplificada, que os bósons podem ter as suas funções de onda explicitadas separadamente em coordenadas espaciais e nas coordenadas de spin. A função de onda para os bósons são funções simétricas perante a inversão simultânea das coordenadas espaciais e das coordenadas de spin.

Referências

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

x TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que rege as partículas de spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi tenha definido as estatísticas antes de Dirac).^[1][2]

Formulação matemática

A distribuição de Fermi-Dirac é dada por

${\displaystyle n_{i}(\epsilon ,T)={\frac {g_{i}}{e^{\frac {\epsilon -\mu }{k_{B}T}}+1}}}$

x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Onde:

${\displaystyle n_{i}}$ é o número médio de partículas no estado de energia ${\displaystyle \epsilon _{i}}$.

${\displaystyle g_{i}}$ é a degenerescência do i-ésimo estado

${\displaystyle \epsilon _{i}}$ é a energia no i-ésimo estado

${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico

${\displaystyle T}$ é a temperatura

${\displaystyle k_{B}}$ a constante de Boltzmann

Nos casos em que ${\displaystyle \mu }$ é a energia de Fermi ${\displaystyle E_{F}\ }$ e ${\displaystyle g_{i}=1\ }$, a função é chamada de função Fermi:

${\displaystyle F(E)={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-E_{F})/kT}+1}}}$

x

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de ${\displaystyle N}$ bósons idênticos de massa ${\displaystyle m}$, que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume ${\displaystyle V}$, a uma temperatura ${\displaystyle T}$, em equilíbrio, o número médio de partículas ${\displaystyle {\bar {n}}_{s}}$ num estado de energia ${\displaystyle s}$ é dado por

${\displaystyle {\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$ ,

em que ${\displaystyle g_{s}}$ é a degenerescência quântica do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ é a energia do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico, e ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T}$, em que ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann^[1].

Formulação matemática

Seja um gás de ${\displaystyle N}$ partículas idênticas confinadas em um volume ${\displaystyle V}$. Sendo ${\displaystyle Q_{i}}$ o conjunto das coordenadas generalizadas da i-ésima partícula e ${\displaystyle s_{i}}$ o índice rotulador dos possíveis estados quânticos desta única partícula, o estado do gás inteiro é então descrito pelo conjunto de números quânticos

${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\dots ,s_{N}\}}$

os quais definem a função de onda ${\displaystyle \Psi }$ do gás nesse estado.

${\displaystyle \Psi =\Psi _{\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{N}\}}(Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{N})}$

A estatística BE trata de partículas em que o spin total é medido em unidade inteiras de ${\displaystyle \hbar }$ — os chamados bósons — como, por exemplo, o átomo de Hélio-4 e o fóton.^[1] Partículas quânticas são indistinguíveis, ou seja, a troca de duas partículas não altera o estado do sistema. Além disto, a função de onda total para um sistema de bósons é simétrica sobre a troca de duas partículas^[1]

${\displaystyle \Psi (\dots ,Q_{i},\dots ,Q_{j})=\Psi (\dots ,Q_{j},\dots ,Q_{i})}$

Como consequência, os bósons não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, não havendo limitação no número de partículas que podem ocupar um dado estado quântico^[1]. Tomando este gás a uma temperatura ${\displaystyle T}$ e que cada partícula está em um estado ${\displaystyle r}$ de energia ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ onde há ${\displaystyle n_{r}}$ partículas neste estado, o gás inteiro possui ${\displaystyle R}$ estados possíveis. Desprezando as interações mútuas entre as partículas, a energia do gás no estado ${\displaystyle R}$ será dada por

${\displaystyle E_{R}=n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\dots =\sum _{r}n_{r}\epsilon _{r}}$

em que a soma se estende sobre todos os estados ${\displaystyle r}$ possíveis de uma partícula^[2]. Como o número de partículas é fixo, também temos que

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N}$

A função partição ${\displaystyle Z}$ do gás será dada por

${\displaystyle Z=\sum _{R}e^{-\beta E_{R}}=\sum _{R}e^{-\beta n_{1}\epsilon _{1}+\dots }}$

Essa soma é sobre todos os estados ${\displaystyle R}$ possíveis do gas inteiro, isto é, sobre todos os possíveis números ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\dots }$^[2]. Como exp${\displaystyle [-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)]}$ é a probabilidade relativa de encontrar o gás em um estado partículas onde há ${\displaystyle n_{1}}$ partículas em 1, ${\displaystyle n_{2}}$ em partículas em 2 e assim sucessivamente, pode-se escrever o número médio de partículas em um estado ${\displaystyle s}$ como

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {\sum _{R}n_{s}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}{\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}}.}$

Somando todos os possíveis valores de ${\displaystyle n_{s}}$, usando a propriedade multiplicativa da exponencial e rearranjando, pode-se escrever ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ como

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {\displaystyle \sum _{n_{s}}n_{s}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\cdot \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}{\displaystyle \sum _{n_{s}}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\cdot \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}}}$

em que o sobrescrito ${\displaystyle (s)}$ no somatório indica a soma com exceção do estado ${\displaystyle s}$ em particular. Adotando a notação:

${\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}=Z_{s}(N)}$

A restrição de ${\displaystyle N}$ fixo implica que se uma partícula está no estado ${\displaystyle s}$, a soma ${\displaystyle \sum ^{(s)}}$ se estende pelas ${\displaystyle N-1,N-2,\dots }$ partículas restantes que podem ser colocadas nos estados ${\displaystyle n_{r}=1,2,3,\dots }$. Ao executar explicitamente a soma sobre ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ ter-se-á^[3]

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {0+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)+2e^{-2\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-2)+\dots }{Z_{s}(N)+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)+2e^{-2\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-2)+\dots }}}$

Estabelecendo a seguinte relação entre ${\displaystyle Z_{s}(N-\Delta N)}$ e ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ onde ${\displaystyle N>>\Delta N}$

${\displaystyle \ln {Z_{s}(N-\Delta N)}=\ln {Z_{s}(N)}-{\dfrac {\partial \ln {Z_{s}}}{\partial N}}\cdot \Delta N=\ln {Z_{s}}-\alpha _{s}\Delta N}$

em que

${\displaystyle \alpha _{s}={\dfrac {\partial \ln {Z_{s}}}{\partial N}}}$

e portanto,

${\displaystyle Z_{s}(N-\Delta N)=Z_{s}(N)e^{-\alpha _{s}\Delta N}}$

Mas como ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ é uma soma sobre muitos estados, espera-se que a variação de seu logaritmo natural com o número total de partícula seja imperceptível para o qual um estado particular ${\displaystyle s}$ seja omitido da soma^[3]. Vamos introduzir a aproximação de que ${\displaystyle \alpha _{s}}$ é independente de ${\displaystyle s}$, então podemos só escrever ${\displaystyle \alpha _{s}=\alpha }$ para todo ${\displaystyle s}$^[3]. Logo,

${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial \ln {Z}}{\partial N}}}$

Do ensemble canônico, sabe-se que essa derivada parcial resulta em ${\displaystyle -\beta \mu }$, em que ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico do gás^[3]. Portanto,

${\displaystyle \alpha =-\beta \mu }$

Substituindo estes resultados em ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ teremos

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+\dots }{Z_{s}(N)+e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+\dots }}}$

Cancelando ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ ter-se-á

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+\dots }{1+e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+\dots }}}$

Que é uma série geométrica. Usando a função partição de acordo com^[3] isso resultará em

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$

Se o estado ${\displaystyle s}$ é degenerado com degenerescência ${\displaystyle g_{s}}$ então o número médio de partículas com energia ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ é obtido multiplicando a expressão anterior por ${\displaystyle g_{s}}$. Finalmente,

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$

A estatística de Bose-Einstein reduz-se à estatística de Maxwell-Boltzmann para energias: ${\displaystyle (\epsilon _{s}-\mu )>>kT}$^[4][5].

Gás de fótons

Um caso especial da estatística de Bose-Einstein é o gás de fótons. Fótons possuem spin inteiro igual a 1, então desta forma são considerados bósons. O caso é especial devido ao fato de que se considerarmos vários fótons dentro de um recipiente com volume V, o número destes fótons não será constante, pois conforme estes fótons interagem com as paredes do recipiente estes são absorvidos ou emitidos. Desta forma, não podemos impor um vínculo ao número total de fótons no sistema. Neste caso, precisaremos realizar as somas sobre todos os possíveis números de partículas em cada estado, da forma^[6]:

${\displaystyle n_{r}=0,1,2,3,...}$ para todo r.

A função partição para o gás de fótons é dada por:

${\displaystyle Z=\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+...)}}$

No qual R são todos os estados possíveis do gás. Como não há vínculos agora para o número de partículas por estado, podemos utilizar as propriedades das funções exponenciais e reescrever a soma acima como:

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}...}$

Ou ainda:

${\displaystyle Z=\left(\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}\right)\left(\sum _{n_{2}=0}^{^{\infty }}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}\right)...}$

Como não há restrição para o número de fótons, as somas acima são consideradas até um número muito grande de partículas por estado de energia, no qual matematicamente isto se traduz a realizarmos a soma até o infinito, embora fisicamente, estejamos carregando a soma até um número muito grande de partículas. Como estamos tratando de uma exponencial com argumento negativo, após um certo valor os termos serão desprezíveis, não tendo problemas com divergências. Se olharmos com cuidado para as somas dentro dos colchetes acima, percebe-se que podemos escrevê-las como abaixo:

${\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}=1+e^{-\beta \varepsilon _{1}}+e^{-2\beta \varepsilon _{1}}+...=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)}$

Ou seja, cada termo é uma soma geométrica. Assim, podemos reescrever a função partição da seguinte forma:

${\displaystyle Z=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{2}}}}\right)...}$

E o logaritmo natural da função partição, que é o qual estamos interessados é dado por:

${\displaystyle \ln {Z}=-\sum _{r}\ln {(1-e^{-\beta \varepsilon _{r}})}}$

Nosso próximo objetivo agora é encontrar o número médio de partículas em um estado de energia ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$. Tal resultado pode ser obtido através da expressão abaixo^[6]:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \varepsilon _{s}}}}$

Realizando a derivação do logaritmo natural da função partição, temos o resultado abaixo:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{s}}}{1-e^{-\beta \varepsilon _{s}}}}}$

O resultado acima é este pois a única derivada que não é zero é o termo da soma no qual ${\displaystyle r=s}$. Podemos simplificar o resultado acima, multiplicando e dividindo a expressão acima pela exponencial com o mesmo argumento, porém positivo, e assim obtemos o importante resultado dado por:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{s}-1}}}}$

Este resultado é conhecido como a distribuição de Planck, e fornece o número médio de fótons em um determinado estado s. Uma das aplicações mais famosas do resultado acima é no problema da radiação de corpo negro.

Radiação de corpo negro

Ver artigo principal: Radiação de corpo negro

Radiância espectral em função da frequência

Todo corpo a uma temperatura ${\displaystyle T}$ emite radiação eletromagnética. A distribuição de Planck fornece o espectro de emissão para uma classe especifica de corpos, os chamados corpos negros, definidos como os corpos que absorvem toda a radiação incidente. Pode-se modelar um corpo negro como uma cavidade metálica com volume ${\displaystyle V}$, tal que haja apenas um pequeno orifício em uma de suas paredes. Logo, esta cavidade absorve toda a radiação que entra por ali, e radiação emitida pelo orifício que é oriunda das emissões a partir das superfícies internas da cavidade se comporta como se fosse um corpo negro.^[7]

Busca-se a chamada radiância espectral ${\displaystyle R_{T}(f)df}$, que fornece a potência irradiada por unidade de área com frequência entre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f+df}$ pelo corpo estudado a uma data temperatura. Através de uma análise física do problema, pode-se mostrar que a radiância espectral está diretamente ligada com a densidade de energia dentro da cavidade. A relação entre as duas grandezas é dada por:

${\displaystyle R_{T}(f)={\frac {c}{4}}u_{T}(f)}$

Pode-se então obter a densidade de energia, e assim resolve-se o problema da mesma maneira. A densidade de energia pode ser obtida a partir da probabilidade de um nível com energia ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ estar ocupado por ${\displaystyle n_{s}}$ fótons, sendo assim se multiplicarmos este valor pelo número de médio fótons por unidade de volume naquele estado, teremos a densidade de energia dentro desta cavidade na forma:^[8]

${\displaystyle u_{T}(\varepsilon )={g(\varepsilon ){\bar {\varepsilon _{s}}}}}$

Onde ${\displaystyle g(\varepsilon )}$ é a densidade de estados ou degenerescência. Como temos o número médio de fótons em um estado ${\displaystyle s}$, basta multiplicar este número pela energia do estado ${\displaystyle s}$, assim:

${\displaystyle {\bar {\varepsilon _{s}}}={\frac {\varepsilon _{s}}{e^{\beta \varepsilon _{s}}-1}}}$

Como os estados do sistema estão muito próximos um dos outros, por conta da cavidade ocupar um volume V macroscópico, podemos tratar as variáveis como sendo contínuas. O número de estados por unidade de volume dentro da cavidade com frequência entre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f+df}$ é dada por:^[9]

${\displaystyle g(f)df={\frac {8\pi }{c^{3}}}f^{2}df}$

Sabemos que a energia e a frequência de um fóton estão ligado pela expressão de Planck ${\displaystyle E=hf}$, desta forma se fizermos a substituição sugerida, obtemos assim a expressão para a densidade de energia dentro de uma cavidade.

${\displaystyle u_{T}(f)={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$

E a radiância espectral é dada diretamente por:

${\displaystyle R_{T}(f)={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$

Todo o caminho feito para o obtenção do resultado foi a partir da análise das propriedades quânticas e estatísticas de fótons dentro de um volume V, e em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Pode-se chegar no mesmo resultado analisando a interação da radiação eletromagnética dentro do volume V com as paredes do recipiente^[10].

Comparação entre as estatísticas

Comparação das distribuições de Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD).

Influência do potencial químico na distribuição BE.

Influência da temperatura na distribuição de BE.

Nota-se que um sistema de bósons possui uma maior ocupação dos estados, devido aos efeitos quânticos de simetria da função de onda do sistema ^[11]. Nesta distribuição identifica-se que para o regime ${\displaystyle (\epsilon -\mu )/kT>>1}$ as distribuições quânticas de Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD) se aproximam da distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann (MB), que representa o regime de baixas densidades e altas temperaturas, ou seja, o limite clássico ^[12].

Em diferentes valores do potencial químico, nota-se que os estados de menor energia (próximos ao estado fundamental) são os mais populados. Para baixas temperaturas as partículas se concentram nos estados de menor energia. No limite de temperatura tendendo a zero, todas as partículas vão para o estado fundamental (${\displaystyle s=1}$), logo, ${\displaystyle {\bar {n}}_{1}\approx N}$ enquanto ${\displaystyle {\bar {n}}_{s}\approx 0}$ para os demais estados ^[13]. Já para altas temperaturas, devido à energia térmica do sistema, as partículas tem maior probabilidade de atingir estados mais energéticos.

Condensação de Bose-Einstein

O condensado de Bose-Einstein é uma fase da matéria formada por bósons a uma temperatura muito próxima do zero absoluto. Nestas condições, uma grande fração de átomos atinge o mais baixo estado quântico, e nestas condições os efeitos quânticos podem ser observados em escala macroscópica. Sistemas em baixa temperatura ou com densidade relativamente alta de partículas são mais prováveis de apresentarem comportamentos quânticos, mesmo em sistemas onde a interação intramolecular é desprezível^[14].

Temperatura crítica para um gás ideal de bósons

Um gás ideal de bósons não está sujeito ao princípio de exclusão de Pauli. Logo, os bósons podem se condensar no seu estado de menor energia. A densidade de estados ${\displaystyle g(\epsilon )}$ é dada por,

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\epsilon ^{1/2}}$

Logo, o número de partículas ${\displaystyle N}$ pode ser reescrito como

${\displaystyle N=\int _{0}^{\infty }{\frac {g(\epsilon )}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

A distribuição continua pode ser utilizada pois os níveis do sistema quântico discreto são numerosos e estão muito próximos. Portanto,

${\displaystyle N={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

Porém, como a integração dar-se-á de ${\displaystyle \epsilon =0}$, a informação do estado fundamental é perdida. Todavia, quando a temperatura do sistema diminui, o potencial químico aumenta, e o número de partículas no estado fundamental é dada por ^[15]

${\displaystyle N_{0}={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}}$

Seja o número de partículas em estados excitados dado por ${\displaystyle N_{e}}$, temos

${\displaystyle N=N_{0}+N_{e}}$

${\displaystyle N={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}+{\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

Porém, para temperaturas muito próximas de zero ${\displaystyle N\approx N_{0}}$, ou seja,

${\displaystyle N\approx {\frac {1}{e^{-{\frac {\mu }{kT}}}-1}}}$

Variação da temperatura de No/N (preto) e de Ne/N (vermelho) para uma gás ideal de bósons.

E, considerando ${\displaystyle N}$ grande,

${\displaystyle -{\frac {\mu }{kT}}\approx \ln \left(1+{\frac {1}{N}}\right)\approx {\frac {1}{N}}}$

Logo, ${\displaystyle e^{-\mu /kT}\approx 1}$. E ${\displaystyle N_{e}}$ se torna,

${\displaystyle N_{e}={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta \epsilon }-1}}d\epsilon }$

Introduzindo a mudança de variável ${\displaystyle x=\beta \epsilon }$, temos

${\displaystyle N_{e}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}V\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{1/2}}{e^{x}-1}}d\epsilon }$

A integral pode ser escrita em termos da função gama ${\displaystyle \Gamma (x)}$ e da função zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (x)}$. De fato, ela é igual a ${\displaystyle \Gamma (3/2)\zeta (3/2)}$, onde ${\displaystyle \Gamma (3/2)={\sqrt {\pi }}/2}$, logo,

${\displaystyle N_{e}=\zeta (3/2)V\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}}$

A temperatura crítica, ou de Bose-Einstein, ${\displaystyle T_{c}}$, é a temperatura em que acima dela todos os bósons estão em um estado excitado, e pode ser encontrada tomando ${\displaystyle N=N_{e}}$, onde ${\displaystyle T=T_{c}}$, assim, da última equação,

${\displaystyle T_{c}={\frac {h^{2}}{2\pi mk}}\left[{\frac {N}{\zeta (3/2)V}}\right]^{2/3}}$

Se ${\displaystyle 0<T<T_{c}}$, a razão de bósons no estado excitado em relação ao total, é

${\displaystyle {\frac {N_{e}}{N}}=\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{3/2}}$

Consequentemente, a razão para os bósons no estado fundamental é,

${\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}=1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{3/2}}$

Hélio líquido